Question

17．如圖，梯形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，EF∥AD，假設EF作上下平行移動．
（1）如果$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，求證：3EF=BC+2AD；
（2）如果$\frac{AE}{EB}$=$\frac{2}{3}$，求證：5EF=2BC+3AD．

Answer 1

分析 （1）可分別延長BA，CD，且交于O點，可設OA=x，AE=y，EB=2y，根據(jù)條件中的平行關系便可得到$\frac{x}{x+y}=\frac{AD}{EF}$①，$\frac{x}{x+3y}=\frac{AD}{BC}$②，這樣①②聯(lián)立可消去y得到（3EF-2AD-BC）•x=0，從而便可得出3EF=BC+2AD；
（2）證明方法同（1），可設AE=2y，EB=3y，根據(jù)平行關系便可得出兩個關于x，y的等式，消去y即可得出5EF=2BC+3AD．

解答 證明：如圖，分別延長BA，CD，設交于O點，設OA=x；
（1）如果$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，設AE=y，EB=2y；
∵AD∥EF；
∴$\frac{x}{x+y}=\frac{AD}{EF}$①；
∵AD∥BC；
∴$\frac{x}{x+3y}=\frac{AD}{BC}$②；
①②聯(lián)立消去y得，（3EF-2AD-BC）•x=0；
∴3EF-2AD-BC=0；
∴3EF=BC+2AD；
（2）如果$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，設AE=2y，EB=3y；
∵AD∥EF；
∴$\frac{x}{x+2y}=\frac{AD}{EF}$③；
∵AD∥BC；
∴$\frac{x}{x+5y}=\frac{AD}{BC}$④；
③④聯(lián)立消去y得，（5EF-3AD-2BC）•x=0；
∴5EF=2BC+3AD．

點評 考查平行線分線段成比例定理，以及相似三角形的判定，相似三角形的對應邊的比例關系，消元法解二元一次方程的方法．