Question

4．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直線AD與平面BCD所成的角為45°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面BCD；
（2）求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由中位線定理可得EF∥CD，故EF∥平面BCD；
（2）以BCD為底面，則棱錐的高為AB，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD，又∵EF?平面BCD，CD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，
∴∠ADB為直線AD與平面BCD所成的角，
∴∠ADB=45°，
∴AB=BD=4，
∵BC⊥BD，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×BC×BD$=6．
∴三棱錐A-BCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AB$=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．