Question

11．已知f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（a_n-1）（n＞1，n∈N^*，a₁≠0）
（1）求證：{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=$\frac{1}{4}$，求a₄₀的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)發(fā)即可證明{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求a₄₀的值．

解答 證明：（1）∵a_n=f（a_n-1）（n＞1，n∈N^*，a₁≠0）
∴a_n=f（a_n-1）=$\frac{3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+3}$，
取倒數(shù)得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+3}{3{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
即{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差d=$\frac{1}{3}$；
解：（2）∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差d=$\frac{1}{3}$；
∴若a₁=$\frac{1}{4}$，則首項(xiàng)為$\frac{1}{{a}_{1}}$=4，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$=4+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+11}{3}$，
即a_n=$\frac{3}{n+11}$，
則a₄₀=$\frac{3}{40+11}=\frac{3}{51}$=$\frac{1}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，利用取倒數(shù)法證明等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．