Question

3．已知函數(shù)f（x）=|1-2x|-|2+2x|．
（Ⅰ） 解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ） 若a²+2a＞f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ） 若a²+2a＞f（x）恒成立，則 a²+2a大于f（x）的最大值．利用絕對值三角不等式求得f（x）的最大值，可得a²+2a＞3，由此求得a的范圍．

解答 （3）解：（Ⅰ）f（x）≥1可化為：|1-2x|-|2+2x|≥1，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x+1+2x+2≥1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-2x+1-2x-2≥1}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-2x-2≥1}\end{array}\right.$③．
解①得x＜-1，解②求得x≤-$\frac{1}{2}$，解③求得x∈∅，所以不等式的解集為（-∞，-$\frac{1}{2}$]．
（Ⅱ）a²+2a＞f（x）恒成立，等價于 a²+2a大于f（x）的最大值．
由于f（x）=|1-2x|-|2+2x|≤|1-2x+2+2x|=3，當且僅當x≤-1時取等號，故f（x）的最大值為3，
∴a²+2a＞3，求得a＜-3，或 a＞1，故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-3）∪（1，+∞）．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．