Question

16．若實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為點(diǎn)M，已知點(diǎn)N（3，3），則線段MN的最大值與最小值的和為10．

Answer 1

分析 由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，整理后與直線方程ax+by+c=0比較發(fā)現(xiàn)，直線ax+by+c=0恒過(guò)Q（1，-2），再由點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為M，得到PM與QM垂直，利用圓周角定理得到M在以PQ為直徑的圓上，由P和Q的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心A的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此圓的半徑r，線段MN長(zhǎng)度的最大值即為M與圓心A的距離與半徑的和，求出即可

解答 解：∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得方程ax+by+c=0恒過(guò)Q（1，-2），
又點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為M，
∴∠PMQ=90°，
∴M在以PQ為直徑的圓上，
∴此圓的圓心A坐標(biāo)為（$\frac{1-1}{2}$，$\frac{-2+0}{2}$），即A（0，-1），半徑r=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（1+1）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又N（3，3），
∴|AN|=5，
則|MN|_max=5+$\sqrt{2}$，最小值為5-$\sqrt{2}$，所以線段MN的最大值與最小值的和為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，圓周角定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及兩點(diǎn)間的距離公式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本題的突破點(diǎn)．