Question

14．求以圓x²+（y-2）²=16與x軸的交點為焦點，且經過這個圓與y軸的一個交點的橢圓的方程．

Answer 1

分析 由題意求出圓與x軸的兩個交點，再求出圓與y軸的兩個交點，然后分類寫出橢圓的標準方程．

解答 解：在圓x²+（y-2）²=16中，取y=0，得x=$±2\sqrt{3}$，
∴所求橢圓的焦點坐標為${F}_{1}（-2\sqrt{3}，0），{F}_{2}（2\sqrt{3}，0）$，
在圓x²+（y-2）²=16中，取x=0，得y=-2或y=6，
即圓與y軸的交點坐標為（0，-2），（0，6），
當橢圓過（0，-2）時，有b=2，則a²=b²+c²=16，
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
當橢圓過（0，6）時，有b=6，則a²=b²+c²=48，
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{48}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$．

點評 本題考查圓的標準方程，考查了橢圓方程的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是基礎題．