Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n．
已知對(duì)任意n∈N，S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$，求{c_n}的前n項(xiàng)和W_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)．可得S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$，利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（I）∵S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)．
∴S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}+{a}_{1}}{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}}{2}$，
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴{c_n}的前n項(xiàng)和W_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．