Question

11．對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足條件：
①常數(shù)a，b滿足a＜b，區(qū)間[a，b]⊆D
②使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇ka，kb]，（k∈N^*），那么我們把f（x）叫做[a，b]上的“k級(jí)矩形”函數(shù)
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=x³[a，b]上的“1級(jí)矩形”函數(shù)，求常數(shù)a，b的值；
（2）是否存在常數(shù)a，b與正數(shù)k，使函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）在區(qū)間[a，b]上的是“k級(jí)矩形”函數(shù)？若存在，求出a，b及k的值，若不存在，說明理由
（3）設(shè)h（x）=-2x²-x是[a，b]上的“3級(jí)矩形”函數(shù)，求出常數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x³是[a，b]上的“1級(jí)矩陣”函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性建立方程關(guān)系即可．
（2）根據(jù)g（x）的單調(diào)性建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（3）結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，討論對(duì)稱軸的位置建立方程關(guān)系即可．

解答 解：（1）若函數(shù)f（x）=x³是[a，b]上的“1級(jí)矩陣”函數(shù)，即滿足條件①常數(shù)a，b滿足a＜b，區(qū)間[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]
∵函數(shù)f（x）=x³是[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}=a}\\{^{3}=b}\end{array}\right.$，得a=-1，b=0或a=-1，b=1，或a=0，b=1．
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）在區(qū)間[a，b]上的是“k級(jí)矩形”函數(shù)，
∵函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）在區(qū)間[a，b]上的是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（a）=kb}\\{g（b）=ka}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a+2}=kb}\\{\frac{1}{b+2}=ka}\end{array}\right.$，兩式相除得$\frac{b+2}{a+2}=\frac{a}$，即ab+2a=ab+2b，
得2a=2b，即a=b，與b＞a矛盾，故不存在常數(shù)a，b與正數(shù)k，使函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）在區(qū)間[a，b]上的是“k級(jí)矩形”函數(shù)．
（3）若h（x）=-2x²-x是[a，b]上的“3級(jí)矩形”函數(shù)，
則滿足函數(shù)h（x）=-2（x+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$在[a，b]上的值域?yàn)閇3a，3b]，
①當(dāng)a＜b≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，h（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，值域?yàn)閇h（a），h（b）]，即h（a）=3a，h（b）=3b，
即a，b是h（x）=3x的兩個(gè)不等實(shí)根，即-2x²-x=3x，x²+2x=0，解得x=0或x=-2，
即a=-2，b=0不滿足條件．
②當(dāng)-$\frac{1}{4}$≤a＜b時(shí)，h（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，值域?yàn)閇h（b），h（a）]，即h（a）=3b，h（b）=3a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{{a}^{2}+^{2}=-2}\end{array}\right.$，方程組無解．
③當(dāng)a＜-$\frac{1}{4}$＜b時(shí)，當(dāng)x=-$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)的最大值為$\frac{1}{8}$，即3b=$\frac{1}{8}$，解得b=$\frac{1}{24}$，
h（$\frac{1}{24}$）=h（-$\frac{13}{24}$），
∴當(dāng)a＜-$\frac{13}{24}$，h（a）=3a，解得a=-2，
綜上a=-2，b=$\frac{1}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義型函數(shù)的理解和運(yùn)用能力，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．