Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}對(duì)任意的n∈N^*，滿足a_n+1=a_n +1，a₁=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n =（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$+n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n =$（\frac{1}{3}）^{n+11}$+n，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}對(duì)任意的n∈N^*，滿足a_n+1=a_n +1即a_n+1-a_n =1，a₁=12．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為12，公差為1．
∴a_n=12+（n-1）×1=n+11．
（2）b_n =（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$+n=$（\frac{1}{3}）^{n+11}$+n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和=$\frac{（\frac{1}{3}）^{12}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{n（1+n）}{2}$
=$\frac{1}{2×{3}^{11}}$$[1-（\frac{1}{3}）^{n}]$+$\frac{n（1+n）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．