Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（2a+1）x²+（a²+a）x．若函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=[x-（a+1）]（x-a），由函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，可得f′（1）=-a（1-a）=0，解得a=0或a=1．對a分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．

解答 解：f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=[x-（a+1）]（x-a），
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，
∴f′（1）=-a（1-a）=0，解得a=0或a=1．
①當a=0時，f′（x）=x（x-1），
當x＞1或x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
此時x=1是函數(shù)f（x）的極小值點，舍去．
②當a=1時，f′（x）=（x-2）（x-1），
當x＞2或x＜1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當1＜x＜2時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
此時x=1是函數(shù)f（x）的極大值點，滿足條件．
綜上可得：a=1．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．