Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB=2，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E為AB中點．
（Ⅰ）求證：BC⊥A₁C；
（Ⅱ）求證：BC₁∥平面A₁CE；
（Ⅲ）若AA₁=3，BP=a，且AP⊥A₁C，寫出a的值（不需寫過程）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推忸出AA₁⊥CB，AC⊥CB，由此能證明CB⊥A₁C．
（Ⅱ）連接AC₁與A₁C交于點F，連接EF，推導(dǎo)出四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，從而EF∥C₁B，由此能證明BC₁∥平面A₁CE．
（Ⅲ）過P作PQ∥BC，交CC₁于Q，由PQ⊥面ACC₁A₁，CQ=a，能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）因為AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥CB．（2分）
因為AC⊥CB，所以CB⊥平面AA₁C₁C．（4分）
所以CB⊥A₁C．（5分）
（Ⅱ）連接AC₁與A₁C交于點F，連接EF，（7分）
由三棱柱性質(zhì)可得四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，
所以點F是AC₁的中點．
因為E為AB中點，
所以在△AC₁B中，EF∥C₁B．（8分）
因為EF?平面A₁CE，BC₁?平面A₁CE，（10分）
所以BC₁∥平面A₁CE．（11分）
解：（Ⅲ）$a=\frac{4}{3}$．（14分）

點評 本題考查線線垂直、線面平行的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．