Question

9．如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．
（Ⅰ）求證：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若AB=a，AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，求三棱錐C-ABB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由BC=BB₁，∠B₁BC=60°可知△BCB₁是等邊三角形，取BC中點(diǎn)O，則BC⊥OA，BC⊥OB₁，于是BC⊥平面AOB₁，從而BC⊥AB₁；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OA，OB₁，利用勾股定理的逆定理得出OA⊥OB₁，從而OB₁是棱錐B₁-ABC的高，代入體積公式可求出棱錐的體積．

解答 證明：（I）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)B₁O，AO，B₁C，
∵側(cè)面BB₁C₁C是菱形，∴BC=BB₁，∵∠B₁BC=60°，∴△BCB₁是等邊三角形，
又∵△ABC是等邊三角形，∴BC⊥B₁O，BC⊥AO，
又∵AO?平面AOB₁，B₁O?平面AOB₁，AO∩B₁O=O，
∴BC⊥平面AOB₁，∵AB₁?平面AOB₁，
∴BC⊥AB₁．
（II）∵△ABC和△BCB₁是等邊三角形，AB=a，∴OA=OB₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
∵AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，∴OA²+OB₁²=AB₁²，∴OA⊥OB₁，
又∵OB₁⊥BC，OA?平面ABC，BC?平面ABC，OA∩BC=O，
∴OB₁⊥平面ABC，
∴V${\;}_{棱錐C-AB{B}_{1}}$=V${\;}_{棱錐{B}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC•OB₁=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{{a}^{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定和性質(zhì)，棱錐的結(jié)構(gòu)特征和體積計(jì)算，屬于中檔題．