Question

15．已知f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ（m，n∈N）的展開式中的x系數(shù)為19．
（1）求f（x）展開式中x²項(xiàng)系數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)x²項(xiàng)系數(shù)最小時(shí)，求f（x）展開式中x⁷項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得m+n=19，求得x²的系數(shù)為C_m²+C_n²=$\frac{m（m-1）+n（n-1）}{2}$=n²-19n+171，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得x²項(xiàng)的系數(shù)的最小值．
（2）有題意可得x⁷項(xiàng)的系數(shù)為C₁₀⁷+C₉⁷，計(jì)算可得結(jié)果．

解答 解：（1）由已知展開式中的x系數(shù)為C_m¹+C_n¹=19，即m+n=19，
∴x²的系數(shù)為C_m²+C_n²=$\frac{m（m-1）+n（n-1）}{2}$=$\frac{（19-n）（19-n-1）+n（n-1）}{2}$=n²-19n+171，
∴當(dāng)n=9，m=10或n=10，m=9時(shí)，x²項(xiàng)的系數(shù)是最小，且最小值為81．
（2）x⁷項(xiàng)的系數(shù)為C₁₀⁷+C₉⁷=156．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．