Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
（Ⅰ）求證：a，b，c成等比數(shù)列；
（2）若cosB=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3}{2}$，求a+c．

Answer 1

分析 （I）sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，化為$sinB•\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$，即sinBsinB=sinAsisnC，利用正弦定理可得b²=ac，即可證明．
（2）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、余弦定理即可得出．

解答 （I）證明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，∴$sinB•\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$，
∴sinBsin（A+C）=sinAsisnC，即sinBsinB=sinAsisnC，利用正弦定理可得b²=ac，
∴a，b，c成等比數(shù)列；
（2）解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3}{2}$，∴-accosB=-$\frac{3}{2}$，又cosB=$\frac{3}{4}$，
∴ac=2，
又cosB=$\frac{3}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，b²=ac．
∴3=（a+c）²-6，
解得a+c=3．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、正弦定理與余弦定理、兩角和差公式、等比數(shù)列定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．