Question

3．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{3}^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a（x＞0）}\end{array}\right.$在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． a＞$\frac{16}{3}$
• B． a＜$\frac{16}{3}$
• C． a≥$\frac{16}{3}$
• D． a≤$\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖象，及題意其定義域R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即可求出a的取值范圍．

解答 解：①當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x+3^x．
∵函數(shù)y=x與y=3^x在x≤0時(shí)都單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）=x+3^x在區(qū)間（-∞，0]上也單調(diào)遞增
又f（-1）=-1+3-1=-1+$\frac{1}{3}$=-$\frac{2}{3}$＜0，f（0）=1＞0，所以函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，如圖所示．
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x3-4x+a．
∴f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=2時(shí)求得極小值，也即在x＞0時(shí)的最小值．
∵函數(shù)f（x）在其定義域R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且由（1）可知在區(qū)間（-1，0）內(nèi)已經(jīng)有一個(gè)零點(diǎn)了，所以在區(qū)間（0，+∞）上沒有零點(diǎn)，
∴必須滿足f（2）＞0，即$\frac{{2}^{3}}{3}$-4×2+a＞0，解得a＞$\frac{16}{3}$．
故a的取值范圍是（$\frac{16}{3}$，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性并畫出圖象是解題的關(guān)鍵．