Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow$=（cosx，-cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈[0，π]，當(dāng)方程f（x）=m有兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)．
（1）求m的取值范圍；
（2）求方程的兩個(gè)不等實(shí)根之和．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），再求出f（x）的取值范圍，從而求出m的范圍；
（2）設(shè)出方程的兩根，由兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$對稱，從而求出兩個(gè)不等實(shí)根之和．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，π]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f（x）≤1，
畫出函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
如圖示：

若方程f（x）=m有兩個(gè)不同實(shí)根，
則-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜1或-1＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有2個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)x₁，x₂是這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
∵x∈[0，π]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
若這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$對稱，則有x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，
若這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$對稱，則有x₁+x₂=$\frac{11π}{6}$，
∴方程的兩個(gè)不等實(shí)根之和為$\frac{5π}{6}$或$\frac{11π}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了向量的運(yùn)算，考查正弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．