Question

12．已知橢圓C：x²+4y²=16．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與y軸下半軸的交點(diǎn)為B，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B，E，F(xiàn)構(gòu)成以EF為底邊，B為頂點(diǎn)的等腰三角形，判斷直線EF與圓x²+y²=$\frac{1}{2}$的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將橢圓C的方程變成其標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出a，c，所以可求其離心率e=$\frac{c}{a}$；
（Ⅱ）聯(lián)立直線的方程y=kx+1與橢圓C的方程消去y得到（1+4k²）x²+8kx-12=0．若設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理即可求出線段EF中點(diǎn)M（$-\frac{4k}{1+4{k}^{2}}，\frac{1}{1+4{k}^{2}}$），而B（0，-2），根據(jù)已知條件知道BM⊥EF，所以可得到$-\frac{3+8{k}^{2}}{4k}=-\frac{1}{k}$，解出k=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$，這樣便得到直線EF的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求圓心（0，0）到直線EF的距離，比較和圓半徑的關(guān)系即可得出直線EF和圓的位置關(guān)系．

解答 解：（I）由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
∴a²=16，b²=4，從而c²=a²-b²=12；
因此$a=4，c=2\sqrt{3}$，
故橢圓C的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（II）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+4{y^2}=16\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+8kx-12=0；
由題意可知△＞0；
設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），EF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，y_M），
則${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$，${y_M}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{1}{{1+4{k^2}}}$；
因?yàn)椤鰾EF是以EF為底邊，B為頂點(diǎn)的等腰三角形；
所以BM⊥EF，
因此BM的斜率${k_{BM}}=-\frac{1}{k}$；
又點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-2）；
所以${k_{BM}}=\frac{{{y_M}+2}}{{{x_M}-0}}=\frac{{\frac{1}{{1+4{k^2}}}+2}}{{-\frac{4k}{{1+4{k^2}}}}}=-\frac{{3+8{k^2}}}{4k}$；
即$-\frac{{3+8{k^2}}}{4k}=-\frac{1}{k}（{k≠0}）$；
亦即${k^2}=\frac{1}{8}$，所以$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$；
故EF的方程為$±\sqrt{2}x-4y+4=0$；
又圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$的圓心O（0，0）到直線EF的距離為$d=\frac{4}{{\sqrt{18}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
所以直線EF與圓相離．

點(diǎn)評 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，標(biāo)準(zhǔn)方程中的a，b，c的含義，離心率的計(jì)算公式e=$\frac{c}{a}$．韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相互垂直的兩直線的斜率的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，以及判斷直線和圓的位置關(guān)系的方法．