Question

17．已知橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且該橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直線l₁：y=x+m（m≠0）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線l₂：y=x-m與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）帶入橢圓方程，并根據(jù)離心率$e=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，這樣便可得到關(guān)于a，b的方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）先容易判斷出四邊形ABCD為平行四邊形，所以面積為弦長|AB|與直線l₁，l₂之間距離的乘積，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)弦長公式即可得到|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-{m}^{2}}$，根據(jù)直線l₁，l₂的方程即可求出這兩直線間的距離為$\sqrt{2}|m|$，所以得到四邊形ABCD的面積為$\frac{8}{5}•|m|•\sqrt{5-{m}^{2}}$，根據(jù)基本不等式即可求該面積的最大值．

解答 解：（1）依題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$；
解得a²=4，b²=1；
∴橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）顯然直線l₁與直線l₂關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形ABCD為平行四邊形；
∴|AB|=|CD|，?ABCD的面積為弦長|AB|與直線l₁，l₂距離的乘積；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y得，5x²+8mx+4m²-4=0；
則△=16（5-m²）＞0，∴0＜m²＜5；
根據(jù)韋達(dá)定理${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{5}$；
∴$|AB|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{80-16{m}^{2}}{25}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-{m}^{2}}$；
直線l₁與l₂的距離為$2|m|•\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}|m|$；
∴${S}_{四邊形ABCD}=\sqrt{2}|m|•\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-{m}^{2}}$=$\frac{8}{5}•|m|•\sqrt{5-{m}^{2}}≤\frac{8}{5}•\frac{{m}^{2}+5-{m}^{2}}{2}=4$；
當(dāng)且僅當(dāng)${m}^{2}=\frac{5}{2}$時(shí)等號(hào)成立；
∴四邊形ABCD面積的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，以及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線方程的關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長公式，求兩平行線間的距離，橢圓的對(duì)稱性，以及基本不等式的運(yùn)用．