Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{•2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，1）
• C． （-∞，0）∪（0，1）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)t=f（x），則方程等價(jià)為f（t）=0，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得出此題的關(guān)鍵是a•2^x取不到1和0．

解答 解：設(shè)t=f（x），則f（t）=0，
若a＜0時(shí)，當(dāng)x≤0，f（x）=a•2^x＜0．
由f（t）=0，即$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$=0，此時(shí)t=1，
當(dāng)t=1得f（x）=1，此時(shí)x=$\frac{1}{2}$有唯一解，此時(shí)滿足條件．
若a=0，此時(shí)當(dāng)x≤0，f（x）=a•2^x=0，此時(shí)函數(shù)有無窮多個(gè)點(diǎn)，不滿足條件．
若a＞0，當(dāng)x≤0，f（x）=a•2^x∈（0，a]．
此時(shí)f（x）的最大值為a，
要使若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
則a＜1，此時(shí)0＜a＜1，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用換元法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．