Question

11．已知直線l₁：2x+y+a=0，l₂：ax-2y+1=0，l₃：x+y+2=0．
（1）當(dāng)a=0，求這三條直線所圍成的封閉圖形的面積．
（2）若這三條直線能構(gòu)成△ABC，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，求出三條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的底邊長和高，代入三角形面積公式，可得答案．
（2）若這三條直線能構(gòu)成△ABC，則三條直線互不平行，且不過同一點(diǎn)，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，
直線l₁：2x+y=0，l₂：-2y+1=0，l₃：x+y+2=0．
直線l₂與直線l₁交于A（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）點(diǎn)，與直線l₃交于B（-$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）點(diǎn)，此時(shí)AB=（-$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{2}$）=$\frac{9}{4}$，
直線l₃與直線l₁交于C（2，-4）點(diǎn)，
由C到直線l₂的距離d=$\frac{1}{2}+4$=$\frac{9}{2}$，
故這三條直線所圍成的封閉圖形的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×\frac{9}{2}$=$\frac{81}{16}$；
（2）若這三條直線能構(gòu)成△ABC，則三條直線互不平行，且不過同一點(diǎn)，
若直線l₂與直線l₁平行，則a=-4，
若直線l₂與直線l₃平行，則a=-2，
若直線l₃與直線l₁不平行，交點(diǎn)為：P（2-a，a-4），
若直線l₂也過P點(diǎn)，則a（2-a）-2（a-4）+1=0，解得a=±3，
綜上所述，當(dāng)a∉{-4，-3，-2，3}時(shí)，這三條直線能構(gòu)成△ABC．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形面積公式，直線圍成三角形的條件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．