Question

8．已知拋物線y=x²，O為頂點(diǎn)，A，B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 確定直線AB方程為y=kx+1，該直線過定點(diǎn)（0，1）．點(diǎn)M是直角三角形AOB斜邊上的垂足，點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可求點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)直線AB方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB方程代入拋物線方程y=x²，
得x²-kx-b=0，
則x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
∴y₁y₂=b²，
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-b=-1，b=1．
于是直線AB方程為y=kx+1，該直線過定點(diǎn)（0，1）．
由題意知，點(diǎn)M是直角三角形AOB斜邊上的垂足，
∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡方程為x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．