Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過(guò)橢圓左頂點(diǎn)作直線l，若動(dòng)點(diǎn)M到橢圓右焦點(diǎn)的距離比它到直線l的距離小4，求點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

【解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a，半短軸長(zhǎng)為b，半焦距為c.

   由已知，2a＝12，所以a＝6.   又，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2.   

于是b²＝a²－c²＝36－4＝32.             

   因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.  

（Ⅱ）法一：因?yàn)閍＝6，所以直線l的方程為x＝－6，又c＝2，所以右焦點(diǎn)為F₂(2，0).

過(guò)點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為H，由題設(shè)，|MF₂|＝|MH|－4.

   設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則. 

兩邊平方，得，即y²＝8x.    故點(diǎn)M的軌跡方程是y²＝8x.                                            

   法二：因?yàn)閍＝6，c＝2，所以a－c＝4，從而橢圓左焦點(diǎn)F₁到直線l的距離為4. 

由題設(shè)，動(dòng)點(diǎn)M到橢圓右焦點(diǎn)的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是以右焦點(diǎn)為F₂(2，0)為焦點(diǎn)，直線x＝－2為準(zhǔn)線的拋物線.         

顯然拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且p＝|F₁F₂|＝4，故點(diǎn)M的軌跡方程是y²＝8x