Question

14．如圖，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=$\frac{1}{2}$AP=2，D是AP的中點，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．

（1）求證：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求面GEF與面EFD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CD，又CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定定理即可證明；
（2）如圖以D為原點，以DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系D-xyz．不妨設(shè)AB=BC=$\frac{1}{2}AP$=2．則G（1，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1），
$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{EG}$=（1，1，-1）．設(shè)平面EFG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用法向量的夾角即可得出．

解答 （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD，
∵CD⊥AD，PD∩AD=D．
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．
（2）解：如圖以D為原點，以DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系D-xyz．
不妨設(shè)AB=BC=$\frac{1}{2}AP$=2．則G（1，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1），
$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{EG}$=（1，1，-1）．
設(shè)平面EFG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-y=0}\\{x+y-z=0}\end{array}\right.$，令x=1，解得z=1，y=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）為平面PCD的一個法向量，
$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DA}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴面GEF與面EFD所成銳二面角的大小45°．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理，考查了通過建立空間直角坐標系利用平面的法向量的夾角得出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．