Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），橢圓上兩點A，B坐標(biāo)分別為A（a，0），B（0，b），若△ABF₂的面積為

3

2

，∠BF₂A=120°．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于M，N兩點，證明：點O到直線MN的距離為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，計算得：b=

3

c，a=2c，由S_△ABF2=

1

2

（a-c）b=

3

2

，可計算得a=2，b=

3

，c=1，從而可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）分情況進(jìn)行討論：由題意，當(dāng)直線MN的斜率不存在，此時可設(shè)M（x₀，x₀），N（x₀，-x₀），再由A、B在橢圓上可求x₀，此時易求點O到直線MN的距離；當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OM⊥ON，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，整理后代入韋達(dá)定理即可得m，k關(guān)系式，由點到直線的距離公式可求得點O到直線MN的距離，綜合兩種情況可得結(jié)論，注意檢驗△＞0．

解答： 解：（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，計算得：b=

3

c，a=2c
由S_△ABF2=

1

2

（a-c）b=

3

2

，
計算得a=2，b=

3

，c=1，
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
證明：（2）由題意，當(dāng)直線MN的斜率不存在，此時可設(shè)M（x₀，x₀），N（x₀，-x₀）．
又MN兩點在橢圓C上，
所以

x02

4

+

x02

3

=1，x₀²=

12

7

．
所以點O到直線MN的距離d=

12 7

=

2 21

7

．
當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由已知△＞0，設(shè)M（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．
所以x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

．
因為OM⊥ON，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
所以（k²+1）

4m2-12

3+4k2

-km×

8km

3+4k2

+m²=0．
整理得7m²=12（k²+1），滿足△＞0．
所以點O到直線MN的距離d=

|m|

k2+1

=

12 7

=

2 21

7

為定值．

點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力．