Question

4．如圖，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從O地出發(fā)勻速前往Q地，經(jīng)過t小時(shí)，他們之間的距離為f（t）（單位：千米）．甲的路線是OQ，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線是OPQ，速度為8千米/小時(shí)，乙到達(dá)Q地后在原地等待．設(shè)t=t₁時(shí)乙到達(dá)P地，t=t₂時(shí)乙到達(dá)Q地．
（1）求t₁與f（t₁）的值；
（2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是3千米，當(dāng)t₁≤t≤t₂時(shí)，求f（t）的表達(dá)式，并判斷f（t）在[t₁，t₂]上的最大值是否超過3？說明理由．

Answer 1

分析 （1）用OP長(zhǎng)度除以乙的速度即可求得t₁=$\frac{3}{8}$，當(dāng)乙到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，可設(shè)甲到達(dá)A點(diǎn)，連接AP，放在△AOP中根據(jù)余弦定理即可求得AP，也就得出f（t₁）；
（2）求出t₂=$\frac{7}{8}$，設(shè)t$∈[\frac{3}{8}，\frac{7}{8}]$，且t小時(shí)后甲到達(dá)B地，而乙到達(dá)C地，并連接BC，能夠用t表示出BQ，CQ，并且知道cos$∠OQP=\frac{4}{5}$，這樣根據(jù)余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求該函數(shù)的最大值，看是否超過3即可．

解答 解：（1）根據(jù)條件知${t}_{1}=\frac{3}{8}$，設(shè)此時(shí)甲到達(dá)A點(diǎn)，并連接AP，如圖所示，則OA=$5×\frac{3}{8}=\frac{15}{8}$；
∴在△OAP中由余弦定理得，f（t₁）=AP=$\sqrt{O{A}^{2}+O{P}^{2}-2OA•OP•cos∠AOP}$=$\sqrt{（\frac{15}{8}）^{2}+9-\frac{45}{4}•\frac{3}{5}}=\frac{3\sqrt{41}}{8}$（千米）；
（2）可以求得${t}_{2}=\frac{7}{8}$，設(shè)t小時(shí)后，且$\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}$，甲到達(dá)了B點(diǎn)，乙到達(dá)了C點(diǎn)，如圖所示：
則BQ=5-5t，CQ=7-8t；
∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC=$\sqrt{（5-5t）^{2}+（7-8t）^{2}-2（5-5t）（7-8t）•\frac{4}{5}}$=$\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}$；
即f（t）=$\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}$，$\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}$；
設(shè)g（t）=25t²-42t+18，$\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}$，g（t）的對(duì)稱軸為t=$\frac{21}{25}$$∈[\frac{3}{8}，\frac{7}{8}]$；
且$g（\frac{3}{8}）=\frac{369}{64}，g（\frac{7}{8}）=\frac{25}{64}$；
即g（t）的最大值為$\frac{369}{64}$，則此時(shí)f（t）取最大值$\frac{3\sqrt{41}}{8}＜3$；
即f（t）在[t₁，t₂]上的最大值不超過3．

點(diǎn)評(píng) 考查余弦定理的應(yīng)用，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法．