Question

10．已知O、A、M、B為平面上四點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OB}$+（1-λ）$\overrightarrow{OA}$（λ∈R，λ≠1，λ≠0）．
（1）求證：A、B、M三點(diǎn)共線；
（2）若點(diǎn)B在線段AM上，求實(shí)數(shù)λ的范圍．

Answer 1

分析 （1）可對(duì)等式$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OB}+（1-λ）\overrightarrow{OA}$的兩邊同時(shí)減向量$\overrightarrow{OB}$，然后根據(jù)向量減法的幾何意義即可得出$\overrightarrow{BM}=（1-λ）\overrightarrow{AB}$，這便說明$\overrightarrow{BM}$和$\overrightarrow{AB}$共線，從而得出A、B、M三點(diǎn)共線；
（2）根據(jù)向量數(shù)乘的幾何意義，當(dāng)點(diǎn)B在線段AB上時(shí)，應(yīng)有0＜1-λ＜1，這樣即得到實(shí)數(shù)λ的范圍．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OB}+（1-λ）\overrightarrow{OA}$得：
$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}=（λ-1）\overrightarrow{OB}+（1-λ）\overrightarrow{OA}$=$（λ-1）（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{BM}=（λ-1）\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{AB}$；
∴A，B，M三點(diǎn)共線；
（2）如圖，B在線段AM上，則：

由$\overrightarrow{BM}=（λ-1）\overrightarrow{AB}$及B點(diǎn)在線段AM上得：0≤λ-1≤1；
∴1≤λ≤2，又λ≠1；
∴實(shí)數(shù)λ的范圍為（1，2]．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法的幾何意義，向量數(shù)乘的幾何意義，以及共線向量基本定理．