Question

8．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，BC=4，AA₁=2，P，Q分別為棱AA₁，C₁D₁的中點，則從點P出發(fā)，沿長方體表面到達點Q的最短路徑的長度為（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{34}$
• D． 5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把問題轉(zhuǎn)化為從小長方體PMNG-A₁HQD₁ 的一個頂點P到另一頂點的表面最短距離問題．分類剪展求出最小值，求最小值中的最小者得答案．

解答 解：如圖，
∵P，Q分別為棱AA₁，C₁D₁的中點，
∴問題可轉(zhuǎn)化為從小長方體PMNG-A₁HQD₁ 的一個頂點P到另一頂點的表面最短距離問題．
共有三種剪展方法：
沿QH剪開再展開，此時最短距離為l=$\sqrt{（3+1）^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$；
沿QN剪開再展開，此時最短距離為l=$\sqrt{（3+4）^{2}+{1}^{2}}=5\sqrt{2}$；
沿QD₁ 剪開再展開，此時最短距離為l=$\sqrt{（4+1）^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{34}$．
∴從點P出發(fā)，沿長方體表面到達點Q的最短路徑的長度為$4\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查多面體表面上的最短距離問題，考查分類討論和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，想到剪展的所有情況是解題的關(guān)鍵，是中檔題．