Question

4．對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，定義H_n=$\frac{n}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$為{a_n}的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為H_n=$\frac{2}{n+3}$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為（　�。�

• A． a_n=$\frac{n+1}{n}$
• B． a_n=$\frac{2n+1}{n}$
• C． a_n=$\frac{2n+1}{2n}$
• D． a_n=$\frac{3n+1}{2n}$

Answer 1

分析 通過(guò)定義及H_n=$\frac{2}{n+3}$可得a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{n（n+3）}{2}$、a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，兩式相減，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵H_n=$\frac{n}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$，
∴a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{n}{{H}_{n}}$，
又∵H_n=$\frac{2}{n+3}$，
∴a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{n（n+3）}{2}$，
a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
兩式相減得：na_n=$\frac{n（n+3）}{2}$-$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=$\frac{2n+2}{2}$，
∴a_n=$\frac{n+1}{n}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是理解新定義，注意解題方法的積累，屬于中檔題．