Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$+ax，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線與x軸平行，求a值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅲ）定義：若函數(shù)h（x）在區(qū)間D上任意x₁，x₂都有$h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$，則稱函數(shù)h（x）是區(qū)間D上的凹函數(shù)．設(shè)函數(shù)g（x）=x²f′（x），a＞0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．根據(jù)上述定義，判斷函數(shù)g（x）是否為其定義域內(nèi)的凹函數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)f（x）在x=1處切線與x軸平行列出關(guān)系式即可求出a．
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)①當(dāng)a≥0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅲ）推出g（x）=ax²+x+1（a＞0），x∈（0，+∞），通過(guò)凹函數(shù)的定義證明即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+a$又f（x）在x=1處切線與x軸平行$\begin{array}{l}∴f'（1）=2+a=0\end{array}$，從而a=-2…（4分）
（Ⅱ）由$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+a=\frac{{a{x^2}+x+1}}{x^2}$（x＞0）；
①當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，此時(shí)f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增…（6分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）＞0得：ax²+x+1＞0，而方程ax²+x+1=0有二根，
${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-4a}}}{2a}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-4a}}}{2a}$，且x₁＞0＞x₂，從而f（x）在（0，x₁）上遞增，（x₁，+∞）上遞減，…（8分）
綜上，a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上遞增；a＜0時(shí)，f（x）在（0，x₁）上遞增，（x₁，+∞）上遞減…（9分）
（Ⅲ）由題意g（x）=ax²+x+1（a＞0），x∈（0，+∞）…10 分
令任意x₁，x₂∈（0，+∞）則$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）=a{（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）^2}+\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+1$，
$\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}=\frac{{（a{x_1}^2+{x_1}+1）+（a{x_2}^2+{x_2}+1）}}{2}$，
所以$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$-$\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$=$-\frac{a}{4}{（{x_1}-{x_2}）^2}≤0$…（12分）
也即$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$≤$\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$，
故g（x）是其定義域內(nèi)的凹函數(shù)…．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．