Question

6．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，證明$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$為定值．

Answer 1

分析 F（-1，0），設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入橢圓的方程可得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，利用$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$即可證明．

解答 證明：F（-1，0），設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入橢圓的方程可得3（-1+tcosα）²+4（tsinα）²=12，
化為（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，
∴t₁+t₂=$\frac{6cosα}{3+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{-9}{3+si{n}^{2}α}$．
∴|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{12}{3+si{n}^{2}α}$．
∴$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\frac{12}{3+si{n}^{2}α}}{\frac{9}{3+si{n}^{2}α}}$=$\frac{4}{3}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的參數(shù)方程應(yīng)用、直線與橢圓相交弦長問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．