Question

17．已知曲線M的方程為x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0．
（1）若曲線M表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若曲線M與圓N：x²+y²=4關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）將圓C方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式得（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3，因此若方程表示圓則-m²+2m+3＞0，解之得即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）先求出兩圓的圓心坐標(biāo)，再求出兩圓圓心連線構(gòu)成的線段的垂直平分線方程，即為所求．

解答 解：（1）將方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得：
（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3，
∵方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圓C．
∴-m²+2m+3＞0，解之得-1＜m＜3；
（2）由（1）可得-m²+2m+3=4，∴m=1，
∴曲線M的方程為（x-2）²+（y+1）²=4．
直線l是圓x²+y²=4和圓（x-2）²+（y+1）²=4兩圓的圓心的垂直平分線，
兩圓的圓心分別為N（0，0）、M（2，-1），線段NM的中點(diǎn) C（1，-$\frac{1}{2}$），
MN的斜率為-$\frac{1}{2}$，故直線l的斜率為2，
由點(diǎn)斜式求得直線l的方程為y+$\frac{1}{2}$=2×（x-1），即4x-2y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有參數(shù)m的圓方程，求參數(shù)m的取值范圍．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．