Question

7．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，G是C₁D₁的中點(diǎn)，H是A₁B₁的中點(diǎn)
（1）求異面直線AH與BC₁所成角的余弦值；
（2）求證：BC₁∥平面B₁DG．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD₁，HD₁，說明∠D₁AH為異面直線AH與BC₁所所成的角，在△AD₁H中，求解cos∠D₁AH的值即可．
（2）證明：連結(jié)BD₁交B₁D于點(diǎn)O，連結(jié)OG，證明OG∥BC₁，然后證明BC₁∥平面B₁DG

解答 解：（1）連結(jié)AD₁，HD₁，
∵AB∥C₁D₁  AB=C₁D₁
∴四邊形ABC₁D₁為平行四邊形，
∴AD₁∥BC₁，
∴∠D₁AH為異面直線AH與BC₁所所成的角，…．…．（2分）
設(shè)正方體棱長為1，
在△AD₁H中，AD₁=$\sqrt{2}$，AH=D1H=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠D₁AH=$\frac{{D}_{1}{H}^{2}+{AH}^{2}-{D}_{1}{H}^{2}}{2{D}_{1}H•AH}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$       …..…．（5分）
∴異面直線AH與BC₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$           …．（6分）
（2）證明：連結(jié)BD₁交B₁D于點(diǎn)O，
連結(jié)OG，易知O為BD₁的中點(diǎn)，

在△BC₁D₁中，OG為中位線，∴OG∥BC₁
又OG?平面B₁DG且SC₁?平面B₁DG，
∴BC₁∥平面B₁DG  …．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理以及異面直線所成角的求法，考查計(jì)算能力．