Question

12．設(shè){a_n}是公比不為1的等比數(shù)列，2a₂，3a₃，4a₄成等差數(shù)列，a₁=64
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前20項和T₂₀．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求出公比，由此能求出a_n．
（2）先求出b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{7-n}$=7-n，由此能求出數(shù)列{|b_n|}的前20項和．

解答 解：（1）∵{a_n}是公比不為1的等比數(shù)列，2a₂，3a₃，4a₄成等差數(shù)列，a₁=64，
∴2（3×64q²）=2×64q+4×64q³，
整理，得q（2q²-3q+1）=0，
解得q=0（舍），q=1（舍），q=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=64（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^7-n．
（2）∵b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{7-n}$=7-n，
∴由b_n≥0，得n≤7．?dāng)?shù)列{b_n}是首項為6，公差為-1的等差數(shù)列，
{b_n}前n項和S_n=6n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-1）$=$\frac{13n-{n}^{2}}{2}$．
∴數(shù)列{|b_n|}的前20項和：
T₂₀=2S₇-S₂₀=2×$\frac{13×7-{7}^{2}}{2}$-$\frac{13×20-2{0}^{2}}{2}$=42-（-70）=112．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前20項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．