Question

19．已知函數(shù)f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）e^2x+x．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（2a-1）e^2x+1．利用函數(shù)的單調(diào)性，求解a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=（2a-1）e^2x+1．
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，可得x＜0時(shí)，（2a-1）e^2x+1＞0恒成立．
2ae^2x＞e^2x-1，
a＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{e}^{2x}}$恒成立．
∵$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{e}^{2x}}＜\frac{1}{2}$，∴$a≥\frac{1}{2}$．
實(shí)數(shù)a的取值范：$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查計(jì)算能力，屬于難題．