Question

4．已知m，n為實(shí)常數(shù)，函數(shù)f（x）=x⁴+mx²+n．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（0）=2，設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為g（m），求函數(shù)g（m）的表達(dá)式及g（m）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷；
（2）分析f（x），得到其最值，從而得到g（m）的解析式，進(jìn)一步求其區(qū)域即可．

解答 （1）證明：f（-x）=（-x）⁴+m（-x）²+n=x⁴+mx²+n=f（x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）f（0）=2，則n=2，設(shè)函數(shù)f（x）=x⁴+mx²+2=（x²+$\frac{m}{2}$）²+2-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
當(dāng)m≥0時(shí)，f（x）的最小值為2，；
當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）的最小值為2-$\frac{{m}^{2}}{4}$；
所以g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{2，m≥0}\\{2-\frac{{m}^{2}}{4}，m＜0}\end{array}\right.$，所以g（m）的值域?yàn)椋?∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷以及函數(shù)的值域；考查二次函數(shù)的單調(diào)性以及討論的數(shù)學(xué)思想．