Question

7．在△ABC中，頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（0，-2），（0，2），其周長為12，求頂點(diǎn)A的軌跡方程．

Answer 1

分析 首先根據(jù)△ABC的周長是12，且A（0，-2），B（0，2），進(jìn)一步確定|AC|+|BC|=12＞|AB|，判斷頂點(diǎn)C的軌跡是以A（0，-2），B（0，2）為焦點(diǎn)以原點(diǎn)為中心，x軸和y軸為對稱軸的橢圓．進(jìn)一步根據(jù)a、b、c的關(guān)系求出橢圓的方程．

解答 解：已知△ABC的周長是36，且A（0，-2），B（0，2）
則|AB|=4，|AC|+|BC|=12＞|AB|=4，
所以△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡是以A（0，-2），B（0，2）為焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為中心，以x軸和y軸為對稱軸的橢圓．
橢圓方程設(shè)為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
令|AC|+|BC|=8=2a，
解得：a=4，
令|AB|=4=2c，
解得：c=2，
進(jìn)一步解得：b²=a²-c²=16-4=12．
求得△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1$（y≠0）．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1$．y≠0．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：橢圓的定義，橢圓的方程及相關(guān)的運(yùn)算問題．注意y≠0的情況．