Question

8．已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=x（x+2）．
（1）求f（x）的解析式，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若實數(shù)x滿足f（x²-bx）＜f（$\frac{x-b}{2}$），其中常數(shù)b∈R，試求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（x）的解析式，利用數(shù)形結(jié)合即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）格局函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)-x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=x（x+2）．
∴當(dāng)-x∈（0，+∞）時，f（-x）=-x（-x+2）．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-x（-x+2）=-f（x）．
即f（x）=-x（x-2），
當(dāng)x=0時，f（0）=0，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+2），}&{x≥0}\\{-x（x-2），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）的圖象，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（2）∵f（x）為增函數(shù)，
∴由f（x²-bx）＜f（$\frac{x-b}{2}$），
得x²-bx＜$\frac{x-b}{2}$，
即2x²-2bx＜x-b，
即2x²-（2b+1）x+b＜0，
即（x-b）（2x-1）＜0，
則2（x-b）（x-$\frac{1}{2}$）＜0，
若b=$\frac{1}{2}$，則不等式等價為（x-$\frac{1}{2}$）²＜0，此時不等式無解，
若b＞$\frac{1}{2}$，則不等式的解為$\frac{1}{2}$＜x＜b，
若b＜$\frac{1}{2}$，則不等式的解為b＜x＜$\frac{1}{2}$，
綜上若b=$\frac{1}{2}$，則不等式的解集為∅．
若b＞$\frac{1}{2}$，則不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，b），
若b＜$\frac{1}{2}$，則不等式的解集為（b，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．利用分類討論的思想是解決含有參數(shù)的一元二次不等式的基本思想．