Question

3．已知函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）．
（1）若0＜a＜1，f（2x+3）+f（1-3x）＞0，求x的取值范圍；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，求x∈（2，3），函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）判斷函數(shù)的f（x）的奇偶性和單調性，將不等式進行轉化求解即可．
（2）根據(jù)條件先求出a的值，結合函數(shù)的單調性進行求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
若0＜a＜1，則f（x）為增函數(shù)，
則f（2x+3）+f（1-3x）＞0，
等價為f（2x+3）＞-f（1-3x）=f（3x-1），
即2x+3＞3x-1，
即x＜4，
即x的取值范圍是（-∞，4）；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，
則a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，
即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=$-\frac{1}{2}$（舍），
即f（x）=2^x-2^-x，
∵f（x）在x∈（2，3）上是增函數(shù)，
∴f（2）＜f（x）＜f（3），
即4-$\frac{1}{4}$＜f（x）＜8-$\frac{1}{8}$，
即$\frac{15}{4}$＜f（x）＜$\frac{63}{8}$，
即函數(shù)的f（x）的值域為（$\frac{15}{4}$，$\frac{63}{8}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，結合指數(shù)冪的運算性質以及指數(shù)函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．