Question

17．已知兩個不共線向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-7$\overrightarrow{{e}_{2}}$，若A，B，D三點共線，則λ的值為-$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 利用向量的運算法則求出$\overrightarrow{BD}$，將三點共線轉化為兩個向量共線；利用向量共線的充要條件列出方程；利用平面向量的基本定理求出λ．

解答 解：由于A，B，D三點共線，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-7$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=5$\overrightarrow{AB}$=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∴λ=-$\frac{3}{5}$，
故答案為：-$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查向量的運算法則、考查向量共線的充要條件、考查平面向量的基本定理．