Question

14．關(guān)于x的方程$\sqrt{3}sin2x+cos2x=k+1$在$[0，\frac{π}{2}]$內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則k的取值范是（　　）

• A． （-3，1）
• B． （0，2）
• C． [0，1]
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 先利用兩角和公式對(duì)方程化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定k的范圍．

解答 解：∵k=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）-1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
∴-2≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1≤1，即k∈[-2，1]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和的正弦函數(shù)，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．