Question

3．在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|=2，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，動點P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值為$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可設(shè)D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），P（2+cosθ，sinθ），M（$\frac{1+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}$），利用坐標運算求出$\overrightarrow{BM}$以及${\overrightarrow{BM}}^{2}$的最大值即可．

解答 解：平面內(nèi)，|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|=2，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DC}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
可設(shè)D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
∵動點P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，
可設(shè)P（2+cosθ，sinθ），M（$\frac{1+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{3+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{BM}}^{2}$=${（\frac{3+cosθ}{2}）}^{2}$+${（\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）}^{2}$=$\frac{37+12sin（\frac{π}{6}-θ）}{4}$≤$\frac{49}{4}$，
當且僅當sin（$\frac{π}{6}$-θ）=1時取等號，
∴|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值為$\frac{49}{4}$．
故答案為：$\frac{49}{4}$．

點評 本題考查了平面向量坐標運算性質(zhì)、模的計算公式、數(shù)量積運算性質(zhì)以及三角函數(shù)求值問題，是綜合題．