Question

3．F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（3，0），F(xiàn)₂恰為線段AF₁的中點(diǎn)，橢圓Γ的離心率為$\frac{1}{2}$（I）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓Γ在第一象限上的任一點(diǎn)，連接PF₁，PF₂，過P點(diǎn)作斜率為k的直線l，使得l與橢圓Γ有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，試證明$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出c，利用離心率公式，通過橢圓值a、b、c的關(guān)系，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為y=kx+m，并設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），聯(lián)立直線與橢圓方程利用相切推出k、m的關(guān)系式，求出的橫坐標(biāo)，直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，推出k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，代入$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$中，即可求出這個(gè)定值．

解答 解：（I）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由F₂恰為線段AF₁的中點(diǎn)，
可得3-c=2c，解得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為y=kx+m，并設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$⇒（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵△=0⇒m²=3+4k²，
x₀=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{4k}{m}$＞0，
當(dāng)k＞0時(shí)，m＜0，直線與橢圓相交；
∴k＜0，m＞0，m²=3+4k²⇒m=$\sqrt{\frac{12}{4-{{x}_{0}}^{2}}}$，
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1⇒y₀²=$\frac{3（4-{{x}_{0}}^{2}）}{4}$，
得m=$\frac{3}{{y}_{0}}$，
∴k=-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，y=-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$x+$\frac{3}{{y}_{0}}$，整理得：$\frac{{x}_{0}x}{4}$+$\frac{{y}_{0}y}{3}$=1．
而k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，代入$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$中得
$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$=-$\frac{4{y}_{0}}{3{x}_{0}}$（$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}$）=-$\frac{8}{3}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，軌跡方程的求法，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題．