Question

3．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為PD的中點，點F在棱PD上，且FD=$\frac{1}{3}$PD．
（Ⅰ）求證：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求三棱錐F-ADC與四棱錐P-ABCD的體積比．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，連接BD，利用三角形中位線定理可得：PB∥OE，再利用線面平行的判定定理即可證明．
（Ⅱ）由FD=$\frac{1}{3}$PD，可得：點F到平面ACD（也是平面ABCD）的距離與點P到平面ABCD的距離比為1：3，又易知△ACD的面積等于四邊形ABCD面積的一半，即可得出體積之比．

解答 （I）證明：如圖所示，連接BD，設(shè)BD∩AC=O，易知O為DB的中點．
又E為PD的中點，
在△PDB中，
∴PB∥OE．
又OE?平面EAC，PB?平面EAC，
故PB∥平面EAC．
（Ⅱ）解：∵FD=$\frac{1}{3}$PD，
∴點F到平面ACD（也是平面ABCD）的距離與點P到平面ABCD的距離比為1：3，
又易知△ACD的面積等于四邊形ABCD面積的一半，
∴三棱錐F-ADC與四棱錐P-ABCD的體積比為1：6．

點評 本題考查了線面平行的判定定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．