Question

18．在等腰直角△BCP中，BC=PC=4，∠BCP=90°，A是邊BP的中點，現(xiàn)沿CA把△ACP折起，使PB=4，如圖1所示．

（1）在三棱錐P-ABC中，求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）在圖1中，過A作BC的平行線AE，AE=2，過E作AC的平行線與過C作BA的平行線交于D，連接PE，PD得到圖2，求直線PB與平面PCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面PAC⊥平面ABC；
（2）根據(jù)線面所成角的定義先求出線面角然后根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進行求解即可．

解答 證明：（1）在三棱錐P-ABC中，依題意可知：PA⊥AC，…1分
∵PA=AB=$2\sqrt{2}$，PB=4，
∴PA²+AB²=PB²，…2分，
則PA⊥AB，…3分
又AB∩AC=A，則PA⊥平面ABC，…5分
∵PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC．…6分
（2）由（1）知PA⊥AB，又AB⊥AC，PA∩AC=A，
∴AB⊥平面PAC，…7分   
∵AB∥CD，
∴CD⊥平面PAC，…8分
過A作AH⊥PC于H，則CD⊥AH，…9分
又∵PC∩CD=C，
∴AH⊥平面PCD，…10分
又AB∥CD，AB?平面PCD，
∴AB∥平面，
∴點A到平面PCD的距離等于點B到平面PCD的距離．…11分
∵在Rt△PAC中，PA=2$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，PC=4，
∴PC邊上的高AH=2，即為點A到平面PCD的距離，…12分
設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，
則$sinθ=\frac{h}{PB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，…13分
又$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，所以$θ=\frac{π}{6}$，
即直線PB與平面PCD所成角的大小為$\frac{π}{6}$； …14

點評 本題主要考查空間面面垂直的判定依據(jù)直線和平面所成角的求解，考查學生的推理和計算能力．