Question

18．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為 ρ=2cosθ+6sinθ．
（I）將曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C₂的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）曲線C₁，C₂是否相交，若相交，請求出弦長，若不相交，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用代入法，可得曲線C₁的普通方程，由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求得圓C₂的圓心和半徑，求得圓心到直線的距離，判斷直線和圓相交，運(yùn)用弦長公式計(jì)算即可得到弦長．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t，可得y=x-1；
曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為 ρ=2cosθ+6sinθ，
即有ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ，
即有x²+y²-2x-6y=0；
（Ⅱ）曲線C₂表示圓心為（1，3），半徑為$\sqrt{10}$的圓，
由圓心到直線的距離d=$\frac{|1-1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{10}$，
則曲線C₁，C₂相交，
弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-9ai9o0v^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{22}$．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系，以及弦長公式的運(yùn)用，屬于中檔題．