Question

2．方程3^x+1+2^x+1=7•5^x-1的解集是{2}．

Answer 1

分析 方程3^x+1+2^x+1=7•5^x-1同除3^x+1可化為：1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$，根據(jù)函數(shù)y=1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$與y=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$的圖象有一個交點，可得答案．

解答 解：方程3^x+1+2^x+1=7•5^x-1同除3^x+1得：
1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$，
∵y=1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$為減函數(shù)，y=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$為增函數(shù)，
故y=1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$與y=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$的圖象至多有一個交點，
即方程1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$至多有一個根，
當(dāng)x=2時，1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$=$\frac{35}{27}$，
故方程1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$的根為x=2．
故方程3^x+1+2^x+1=7•5^x-1的解集是{2}，
故答案為：{2}

點評 本題考查的知識點是指數(shù)方程的解法，本題的關(guān)鍵在于確定x=2是方程唯一的根．