Question

19．設函數(shù)f（x）=1+（1+a）x-x²-x³（a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）當x∈[0，1]時，求f（x）的最大值和最小值及取最值時x的值．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）利用（Ⅰ）的結(jié)論，討論兩根與1的大小關(guān)系，判斷函數(shù)在[0，1]時的單調(diào)性，得出取最值時的x的取值．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（-∞，+∞），f′（x）=1+a-2x-3x²，
由f′（x）=0，得x₁=$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，x₁＜x₂，
∴由f′（x）＜0得x＜$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x＞$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
由f′（x）＞0得$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
故f（x）在（-∞，$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$）和（$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，+∞）單調(diào)遞減，
在（$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$）上單調(diào)遞增．
（2）∵a＞0，∴x₁＜0，x₂＞0，
①當a≥4時，x₂≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值．
②當0＜a＜4時，x₂＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x₂]單調(diào)遞增，在[x₂，1]上單調(diào)遞減，
因此f（x）在x=x₂=$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$處取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴當0＜a＜1時，f（x）在x=1處取得最小值；
當a=1時，f（x）在x=0和x=1處取得最小值；
當1＜a＜4時，f（x）在x=0處取得最小值．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值的知識，考查學生分類討論思想的運用能力，屬中檔題．