Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足$\frac{1}{2}$S_n=a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{a_n}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列；
（3）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）運(yùn)用反證法，假設(shè)數(shù)列{a_n}中的任意三項(xiàng)成等差數(shù)列，由（1）的結(jié)論，推出矛盾，即可得證；
（3）把數(shù)列的通項(xiàng)公式放大，然后利用等比數(shù)列的求和公式求和后再放大得答案．

解答 （1）解：n=1時(shí)，$\frac{1}{2}$S₁=a₁-1=$\frac{1}{2}$a₁，
可得a₁=2，
n＞1時(shí)，$\frac{1}{2}$S_n-1=a_n-1-1，
與$\frac{1}{2}$S_n=a_n-1，
相減可得，$\frac{1}{2}$a_n=a_n-a_n-1，
即為a_n=2a_n-1，
即有數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且a_n=2ⁿ；
（2）證明：假設(shè)數(shù)列{a_n}中的任意三項(xiàng)成等差數(shù)列，
由它們構(gòu)成等比數(shù)列，則它們?yōu)楣�比�?的常數(shù)列，
這與公比為2的等比數(shù)列矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，
則數(shù)列{a_n}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列；
（3）證明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$
=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n}-2•{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜b₁+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=2+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查了反證法和放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．