Question

4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，對于曲線Γ，若存在以O為頂點的角α，使得α≥∠AOB對于曲線π上的任意兩個不同的點A，B恒成立，則稱角α為曲線的相對于點O的“漸近角”并稱其中最小的“漸近角”為曲線Γ的相對于點O的“望角”．已知曲線C：y=$\left\{\begin{array}{l}{2x{e}^{x-1}+2，x＞0}\\{\frac{\sqrt{36+25{x}^{2}}}{3}，x≤0}\end{array}\right.$（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），則曲線C的相對于點O的“望角”為（　　）

• A． $\frac{3π}{4}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點O作出兩條直線與曲線無限接近，當x≤0時，曲線y=$\frac{\sqrt{36+25{x}^{2}}}{3}$與直線y=k₁x無限接近，考慮漸近線，求出k₁=-$\frac{5}{3}$；當x＞0時，設出切點，求出切線的斜率，列出方程，求出切點（1，2），即得k₂=4，再由兩直線的夾角公式即可得到所求的“望角”．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點O作出兩條直線與曲線無限接近，設它們的方程分別為y=k₁x，y=k₂x，
當x≤0時，曲線y=$\frac{\sqrt{36+25{x}^{2}}}{3}$與直線y=k₁x無限接近，即為雙曲線的漸近線，故k₁=-$\frac{5}{3}$；
當x＞0時，y=2xe^x-1+2，x＞0，y′=2e^x-1+2xe^x-1，設切點為（m，n），則n=k₂m，
n=2me^m-1+2，k₂=2e^m-1+2me^m-1，即有m²e^m-1=1，
由2xe^x-1（x＞0）為增函數(shù)，且x=1成立，故m=1，k₂=4，
由兩直線的夾角公式得，tanθ=|$\frac{4+\frac{5}{3}}{1-\frac{5}{3}×4}$|=1，
故曲線C相對于點O的“望角”為$\frac{π}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查新定義“望角”及應用，考查導數(shù)的應用：求切線，雙曲線的性質(zhì)：漸近線，屬于中檔題．