Question

8．已知M={x，xy，$\sqrt{x-y}$}，N={0，|x|，y}，若M⊆N，且N⊆M，則（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）+（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{y}^{2010}}$）+（$\frac{1}{{x}^{2011}}$+$\frac{1}{{y}^{2011}}$）=-2．

Answer 1

分析 根據(jù)條件相等得到M=N，根據(jù)集合相等求出，x，y的值，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式進行求解即可．

解答 解：∵若M⊆N，且N⊆M，
∴M=N，
∵M={x，xy，$\sqrt{x-y}$}，N={0，|x|，y}，
∴①若x=0，則M={0，0，$\sqrt{-y}$}不成立，
②如xy=0，則x=0（舍）或y=0，
若y=0，則M={x，0，$\sqrt{x}$}，N={0，|x|，0}，此時有N不成立，
③若$\sqrt{x-y}$=0，則x=y，此時M={x，x²，0}，N={0，|x|，x}，
則若M=N，則x²=|x|，解得x=0，或1或-1，
當(dāng)x=0時，M={0，0，0}不成立，
當(dāng)x=1時，M={1，0，1}不成立．
若x=-1，則M={-1，1，0}，N={0，-1，1}，滿足條件．
此時y=x=-1，
則（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）+（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{y}^{2010}}$）+（$\frac{1}{{x}^{2011}}$+$\frac{1}{{y}^{2011}}$）
=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+…+$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{x}^{2011}}$）+（$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+…+$\frac{1}{{y}^{2010}}$+$\frac{1}{{y}^{2011}}$）
=2（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+…+$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{x}^{2011}}$）
=$\frac{2×\frac{1}{x}[1-（\frac{1}{x}）^{2011}]}{1-\frac{1}{x}}$=$\frac{-2（1+1）}{1+1}=\frac{-4}{2}=-2$，
故答案為：-2

點評 本題主要考查集合相等的應(yīng)用以及等比數(shù)列的前n項和公式的計算，考查學(xué)生的運算和推理能力．